Содержание
Есть историческая справка, страница 22
Страницы, где объясняется происхождение формулы или идеи.
1507 формул
Таблица формул
Показаны 1261-1320 из 1507. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| CHOOSECOLS в Excel: выбрать столбцы массива по номерам | $\texttt{=CHOOSECOLS(array,col\_num1,[col\_num2],…)}$ | Базовые формулы Excel | CHOOSECOLS возвращает только названные столбцы исходного массива, допускает перестановку, повтор и отрицательные номера с конца. |
| CHOOSEROWS в Excel: выбрать строки массива по номерам | $\texttt{=CHOOSEROWS(array,row\_num1,[row\_num2],…)}$ | Базовые формулы Excel | CHOOSEROWS извлекает отдельные строки массива по их позициям, сохраняя порядок аргументов и позволяя обращаться к строкам с конца. |
| Химический потенциал компонента идеальной смеси | $\mu_i(T,p,x_i)=\mu_i^*(T,p)+RT\ln x_i$ | Физическая химия | Формула показывает, как мольная доля компонента изменяет его химический потенциал в идеальной смеси при заданной температуре и давлении. |
| Уравнение Нернста для электродного потенциала | $E=E^\circ-\frac{RT}{zF}\ln Q$ | Базовые химические расчеты | Уравнение Нернста связывает потенциал обратимого электрода со стандартным потенциалом, температурой, числом электронов и активностями участников окислительно-восстановительной реакции. |
| Связь констант равновесия Kp и Kc для идеальных газов | $K_p=K_c(R_0T)^{\Delta\nu}$ | Газы в химии | Формула переводит размерную учебную константу равновесия через концентрации в константу через парциальные давления идеальных газов при согласованных единицах. |
| Уравнение Михаэлиса–Ментен для начальной скорости | $v=\frac{V_{max}[S]}{K_m+[S]}$ | Базовые химические расчеты | Уравнение Михаэлиса–Ментен описывает начальную скорость ферментативной реакции через предельную скорость, концентрацию субстрата и параметр Km. |
| Изотерма адсорбции Лэнгмюра | $\theta=\frac{Kp}{1+Kp}$ | Базовые химические расчеты | Изотерма Лэнгмюра связывает равновесное давление газа с долей занятых поверхностных мест. Для молекулярной однослойной адсорбции покрытие растёт по гиперболе и приближается к единице. |
| Функция Эйлера: произведение по простым делителям | $\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac1p\right)$ | Арифметика и теория чисел | Функция Эйлера φ(n) считает положительные целые числа от 1 до n, взаимно простые с n. Для вычисления достаточно знать различные простые делители n: каждый входит в произведение ровно один раз. |
| Число делителей по разложению на простые множители | $n=\prod_{i=1}^{r}p_i^{a_i},\qquad \tau(n)=\prod_{i=1}^{r}(a_i+1)$ | Арифметика и теория чисел | Число положительных делителей n равно произведению увеличенных на единицу показателей в его простом разложении. Каждый делитель получается независимым выбором допустимой степени каждого простого множителя. |
| Сумма делителей по простому разложению числа | $n=\prod_{i=1}^{r}p_i^{a_i},\qquad \sigma(n)=\prod_{i=1}^{r}(1+p_i+\cdots+p_i^{a_i})$ | Арифметика и теория чисел | Сумма положительных делителей n получается перемножением сумм степеней каждого простого множителя от нуля до его показателя. В сумму входят единица и само число; для собственных делителей затем вычитают n. |
| Обратный элемент по модулю через расширенный алгоритм Евклида | $au+mv=1\quad\Longrightarrow\quad a^{-1}\equiv u\pmod m$ | Арифметика и теория чисел | Обратный к a по модулю m — это остаток, произведение которого с a даёт единицу по модулю m. Расширенный алгоритм Евклида находит его как коэффициент при a в целочисленном равенстве Безу. |
| Китайская теорема об остатках для двух взаимно простых модулей | $x\equiv r+m\bigl((s-r)m^{-1}\bmod n\bigr)\pmod{mn}$ | Арифметика и теория чисел | Китайская теорема об остатках восстанавливает общий класс чисел по остаткам r и s при делении на взаимно простые m и n. Решение существует для любой пары остатков и единственно по модулю произведения mn. |
| Распределение Пуассона: вероятность числа событий | $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ | Вероятность и статистика | Распределение Пуассона даёт вероятность ровно k событий на фиксированном интервале, если известно их среднее число λ. Модель применяют к независимому потоку с постоянной интенсивностью. |
| Геометрическое распределение: номер первого успеха | $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ | Вероятность и статистика | Геометрическое распределение описывает число независимых попыток до первого успеха включительно. Вероятность успеха p остаётся одинаковой в каждой попытке, а предшествующие попытки заканчиваются неудачей. |
| Гипергеометрическое распределение: выбор без возвращения | $P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ | Вероятность и статистика | Гипергеометрическая формула даёт вероятность выбрать ровно k объектов нужного типа среди n предметов, взятых без возвращения из N. В исходной совокупности ровно K объектов относятся к нужному типу. |
| Равномерное распределение: вероятность попасть в интервал | $P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a},\qquad a\le c\le d\le b$ | Вероятность и статистика | Для непрерывного равномерного распределения на отрезке [a,b] вероятность попадания в его часть [c,d] равна отношению длин. Равные по длине части имеют одинаковые вероятности независимо от положения. |
| Экспоненциальное распределение: вероятность времени ожидания | $P(T>t)=e^{-\lambda t}$ | Вероятность и статистика | Экспоненциальная модель даёт вероятность ждать событие дольше t при постоянной интенсивности λ. В отличие от счёта событий по Пуассону, случайной величиной здесь служит непрерывное время до ближайшего события. |
| VSTACK в Excel: объединить массивы по строкам | $\texttt{=VSTACK(A2:B3,D2:E4)}$ | Базовые формулы Excel | VSTACK последовательно ставит массивы один под другим и возвращает единый разливающийся диапазон. При разной ширине недостающие позиции получают #N/A. |
| HSTACK в Excel: объединить массивы по столбцам | $\texttt{=HSTACK(A2:A4,C2:D3)}$ | Базовые формулы Excel | HSTACK ставит массивы рядом и возвращает общий разлившийся диапазон. Высота равна максимуму высот аргументов, а недостающие строки получают #N/A. |
| EXPAND в Excel: увеличить массив до заданного размера | $\texttt{=EXPAND(A2:B3,4,3,"-")}$ | Базовые формулы Excel | EXPAND увеличивает массив до заданного числа строк и столбцов, заполняя новые ячейки pad_with или #N/A по умолчанию. Уменьшение размера даёт #VALUE!. |
| REDUCE в Excel: получить один результат из массива | $\texttt{=REDUCE(0,A2:A4,LAMBDA(a,v,a+v\char94 2))}$ | Базовые формулы Excel | REDUCE последовательно применяет LAMBDA к элементам массива и возвращает один финальный аккумулятор. Это удобная основа для сумм, произведений и условных счётчиков. |
| SCAN в Excel: вывести промежуточные аккумуляторы | $\texttt{=SCAN(0,A2:A4,LAMBDA(a,v,a+v))}$ | Базовые формулы Excel | SCAN применяет LAMBDA к элементам массива и возвращает все промежуточные аккумуляторы. Функция строит нарастающие итоги и помогает увидеть ход вычисления. |
| Энтропия Шеннона: средняя информация дискретного источника | $H(X)=-\sum_{i=1}^{m}p_i\log_2p_i$ | Кодирование информации | Энтропия Шеннона измеряет среднюю неопределённость исхода по его вероятностям. При двоичном логарифме результат выражают в битах на символ; редкие и частые символы вносят разный вклад. |
| Средняя длина кода Хаффмана: расход бит на символ | $\overline{L}=\sum_{i=1}^{m}p_i\ell_i$ | Кодирование информации | Средняя длина двоичного кода равна сумме длин кодовых слов с весами вероятностей символов. Для кода Хаффмана этот расход минимален среди двоичных посимвольных префиксных кодов с заданными вероятностями. |
| Минимальное расстояние кода: сколько ошибок можно исправить | $t=\left\lfloor\frac{d_{\min}-1}{2}\right\rfloor$ | Кодирование информации | Минимальное расстояние между разрешёнными кодовыми словами определяет гарантированное число исправляемых замен битов. Чтобы исправить любые t ошибок, нужно расстояние не меньше 2t+1. |
| Граница Хэмминга: сколько слов помещается в исправляющий код | $M\sum_{j=0}^{t}\binom{n}{j}\le 2^n$ | Кодирование информации | Граница Хэмминга ограничивает число слов M двоичного блочного кода длины n, исправляющего любые t замен. Области возможных повреждений вокруг разных слов должны помещаться среди всех двоичных строк без пересечений. |
| Закон Амдала: предел ускорения параллельной программы | $S(N)=\frac{1}{(1-p)+p/N}$ | Алгоритмы и анализ данных | Закон Амдала оценивает ускорение неизменной задачи на N одинаковых исполнителях, если долю p исходного времени можно идеально распараллелить. Последовательная часть ограничивает итоговый выигрыш. |
| Метод бисекции: корень и гарантированная точность | $c=\frac{a+b}{2},\qquad |c-r|\leq\frac{b-a}{2}$ | Начала анализа | Метод бисекции ищет корень непрерывной функции делением отрезка пополам. Разные знаки на концах дают гарантию существования корня, а длина отрезка — оценку ошибки. |
| Метод Ньютона: приближение корня по касательной | $x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ | Начала анализа | Метод Ньютона заменяет функцию касательной в текущем приближении и берёт нуль этой прямой как следующий шаг. Вблизи простого корня сходимость может быть квадратичной. |
| Метод секущих: поиск корня без вычисления производной | $x_{k+1}=x_k-f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$ | Начала анализа | Метод секущих строит прямую по двум последним точкам графика и использует её пересечение с осью для нового приближения корня. Производная заменяется разностным наклоном. |
| Составная формула трапеций для вычисления интеграла | $T_n=h\left[\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right],\quad h=\frac{b-a}{n}$ | Начала анализа | Составная формула трапеций приближает определённый интеграл суммой площадей под линейными отрезками между соседними узлами. Концевые значения получают половинный вес. |
| Формула Симпсона: интеграл по параболическим дугам | $S_n=\frac h3\left[f_0+f_n+4\!\sum_{\substack{i=1\\i\text{ нечётное}}}^{n-1}f_i+2\!\sum_{\substack{i=2\\i\text{ чётное}}}^{n-2}f_i\right]$ | Начала анализа | Составная формула Симпсона объединяет соседние промежутки попарно и заменяет функцию параболой через три узла. Для равномерной сетки число промежутков должно быть чётным. |
| Явный метод Эйлера: решение задачи Коши по шагам | $y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n),\qquad t_{n+1}=t_n+h$ | Начала анализа | Явный метод Эйлера приближённо решает уравнение y′ = f(t,y), продолжая решение по наклону в начале каждого шага. При гладком решении глобальная ошибка имеет первый порядок по шагу. |
| Неявный метод Эйлера: шаг и устойчивость затухания | $y_{n+1}=y_n+h f(t_{n+1},y_{n+1})$ | Начала анализа | Неявный метод Эйлера использует производную в конце шага. Новое значение входит в обе части равенства, поэтому каждый переход требует решения уравнения, зато схема хорошо подавляет быстро затухающие компоненты. |
| Явный метод средней точки для задачи Коши | $k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\quad y_{n+1}=y_n+hk_2$ | Начала анализа | Явный метод средней точки делает пробный полушаг по Эйлеру, оценивает производную в середине и использует её на полном шаге. Это двухстадийная схема Рунге — Кутты второго порядка. |
| Метод Хойна: явное усреднение двух наклонов | $k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f(t_n+h,y_n+hk_1),\quad y_{n+1}=y_n+\frac h2(k_1+k_2)$ | Начала анализа | В этой двухстадийной схеме сначала делают прогноз Эйлера на полный шаг, затем усредняют начальный и прогнозный конечный наклоны. Метод имеет второй порядок, но названия его вариантов различаются в литературе. |
| Классический метод Рунге — Кутты четвёртого порядка | $\begin{aligned}k_1&=f(t_n,y_n),&k_2&=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\\k_3&=f(t_n+h/2,y_n+hk_2/2),&k_4&=f(t_n+h,y_n+hk_3),\\y_{n+1}&=y_n+\frac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4).\end{aligned}$ | Начала анализа | Классический RK4 вычисляет четыре наклона за шаг и объединяет их с весами 1:2:2:1. Для гладкой задачи Коши он даёт четвёртый порядок общей ошибки без явного вычисления высших производных. |
| Поиск в ширину: кратчайший путь по числу рёбер | $d(s)=0,\qquad d(v)=d(u)+1\quad\text{при первом открытии }v\text{ из }u$ | Алгоритмы и анализ данных | Поиск в ширину, или BFS, находит минимальное число переходов от стартовой вершины в невзвешенном графе. Очередь обрабатывает вершины слоями, поэтому первое открытие уже задаёт кратчайшее расстояние. |
| Алгоритм Дейкстры: релаксация и кратчайшие расстояния | $d(v)\leftarrow\min\bigl(d(v),d(u)+w(u,v)\bigr),\qquad w(u,v)\geq0$ | Алгоритмы и анализ данных | Алгоритм Дейкстры находит кратчайшие пути от одной вершины при неотрицательных весах рёбер. На каждом шаге окончательно выбирается ещё не выбранная вершина с минимальной текущей меткой. |
| Алгоритм Беллмана — Форда: путь с отрицательными весами | $d_k(v)=\min\left(d_{k-1}(v),\min_{(u,v)\in E}\{d_{k-1}(u)+w(u,v)\}\right)$ | Алгоритмы и анализ данных | Алгоритм Беллмана — Форда уточняет расстояния последовательными проходами по рёбрам. Он допускает отрицательные веса и позволяет обнаружить отрицательный цикл, достижимый из выбранного источника. |
| Алгоритм Флойда — Уоршелла: пути между всеми парами | $d_{ij}^{(k)}=\min\left(d_{ij}^{(k-1)},d_{ik}^{(k-1)}+d_{kj}^{(k-1)}\right)$ | Алгоритмы и анализ данных | Алгоритм Флойда — Уоршелла находит расстояния между всеми парами вершин, последовательно разрешая новые промежуточные вершины. Его основа — сравнение прямого известного маршрута с маршрутом через очередную вершину. |
| Алгоритм Краскала: вес минимального остовного дерева | $T\in\underset{\text{остовные деревья }S}{\operatorname{arg\,min}}\sum_{e\in S}w(e),\qquad |T|=V-1$ | Алгоритмы и анализ данных | Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево неориентированного графа: перебирает рёбра по возрастанию веса и принимает только те, которые соединяют разные текущие компоненты. |
| Линейная интерполяция: значение между двумя узлами | $P(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)=(1-t)y_0+ty_1,\quad t=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$ | Начала анализа | Линейная интерполяция оценивает значение между двумя заданными точками по соединяющей их прямой. Доля положения внутри интервала задаёт веса концов; оценка учитывает наклон, но не кривизну исходного графика. |
| Интерполяция Лагранжа: полином через заданные точки | $P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}y_kL_k(x),\qquad L_k(x)=\prod_{\substack{0\leq j\leq n\\j\ne k}}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}$ | Начала анализа | Формула Лагранжа строит полином степени не выше n по n+1 различным узлам. Каждый базисный множитель выбирает значение своего узла и обращает вклады остальных узлов в ноль. |
| Интерполяция Ньютона: таблица разделённых разностей | $P_n(x)=f[x_0]+\sum_{k=1}^{n}f[x_0,\ldots,x_k]\prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j),\quad f[x_i,\ldots,x_j]=\frac{f[x_{i+1},\ldots,x_j]-f[x_i,\ldots,x_{j-1}]}{x_j-x_i}$ | Начала анализа | Форма Ньютона строит интерполяционный полином по треугольной таблице разделённых разностей. Новый узел добавляет коэффициент при очередном произведении, не требуя переписывать уже найденные нижние порядки. |
| Кубическая интерполяция Эрмита по значениям и наклонам | $H(x)=h_{00}(s)y_0+h_{10}(s)\ell m_0+h_{01}(s)y_1+h_{11}(s)\ell m_1,\quad s=\frac{x-x_0}{\ell},\quad \ell=x_1-x_0$ | Начала анализа | Кубический полином Эрмита согласует значения и первые производные на двух концах интервала. Четыре заданных условия определяют единственную кубическую или более простую кривую между узлами. |
| Барицентрическая интерполяция: веса и вычисление полинома | $P(x)=\frac{\sum_{k=0}^{n}\dfrac{w_ky_k}{x-x_k}}{\sum_{k=0}^{n}\dfrac{w_k}{x-x_k}},\qquad w_k=\frac{1}{\prod_{j\ne k}(x_k-x_j)},\quad x\ne x_k$ | Начала анализа | Барицентрическая форма вычисляет полином Лагранжа через заранее рассчитанные веса узлов. Она удобна для множества запросов по одной таблице; при точном совпадении аргумента с узлом нужно сразу вернуть узловое значение. |
| Число Прандтля: диффузия импульса и тепла | $\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha}=\frac{\mu c_p}{k},\qquad \alpha=\frac{k}{\rho c_p}$ | Теплопередача | Число Прандтля сравнивает кинематическую вязкость с температуропроводностью. Оно показывает соотношение молекулярного переноса импульса и тепла и при заданном состоянии среды не зависит от скорости или длины объекта. |
| Тепловое число Пекле: перенос потоком и теплопроводность | $\mathrm{Pe}_T=\frac{UL}{\alpha}=\mathrm{Re}_L\mathrm{Pr},\qquad \mathrm{Re}_L=\frac{UL}{\nu}$ | Теплопередача | Тепловое число Пекле сравнивает перенос температуры движущейся средой с тепловой диффузией на длине L. Большое значение указывает на быстрый перенос потоком относительно выравнивания температуры на этом масштабе. |
| Число Шмидта: вязкость и диффузия компонента | $\mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D}=\frac{\mu}{\rho D}$ | Гидравлика | Число Шмидта сравнивает молекулярную диффузию импульса и выбранного компонента смеси. Оно зависит от свойств среды и пары веществ, а не от скорости или длины потока при неизменном состоянии. |
| Число Фруда: скорость потока и гравитационные волны | $\mathrm{Fr}=\frac{U}{\sqrt{gL}},\qquad L=\frac{A}{B}\ \text{для открытого русла}$ | Гидравлика | Число Фруда сравнивает скорость потока с гравитационным масштабом √(gL). В открытом русле длиной служит гидравлическая глубина, поэтому критерий помогает различать докритическое и сверхкритическое течение. |
| Число Вебера: инерция и поверхностное натяжение | $\mathrm{We}=\frac{\rho U^2L}{\sigma}$ | Гидравлика | Число Вебера сравнивает инерционный и капиллярный масштабы давления. Оно полезно для капель и струй, но требует явного выбора скорости, плотности, размера и поверхностного натяжения между конкретными фазами. |
| Сумма диапазона в Excel и Google Таблицах | =SUM(A1:A10) |
Базовые формулы Excel | Сумма диапазона в Excel и Google Таблицах: формула =SUM(A1:A10) помогает настроить рабочую формулу в таблице и проверить ссылки после копирования. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Процент от числа в Excel и Google Таблицах | =A2*B2 |
Базовые формулы Excel | Процент от числа в Excel и Google Таблицах: формула =A2*B2 помогает настроить рабочую формулу в таблице и проверить ссылки после копирования. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Абсолютная ссылка в Excel и Google Таблицах | =$B$1*A2 |
Базовые формулы Excel | Абсолютная ссылка в Excel и Google Таблицах: формула =$B$1*A2 помогает настроить рабочую формулу в таблице и проверить ссылки после копирования. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Условие IF / ЕСЛИ в Excel и Google Таблицах | =IF(A2>=70,"OK","Проверить") |
Базовые формулы Excel | Условие IF / ЕСЛИ в Excel и Google Таблицах: формула =IF(A2>=70,"OK","Проверить") помогает в Excel и Google Таблицах: формула =IF(A2>=70,"OK","Проверить") помогает в Excel и Google Таблицах: формула =IF(A2>=70,"OK","Проверить") помогает условие истинно, и другое значение, если условие ложно. В тексте есть условия... |
| Округление ROUND / ОКРУГЛ в Excel и Google Таблицах | =ROUND(A2,2) |
Базовые формулы Excel | Округление ROUND / ОКРУГЛ в Excel и Google Таблицах: формула =ROUND(A2,2) помогает настроить рабочую формулу в таблице и проверить ссылки после копирования. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Разница между датами в Excel и Google Таблицах | =B2-A2 |
Базовые формулы Excel | Разница между датами в Excel и Google Таблицах: формула =B2-A2 помогает настроить рабочую формулу в таблице и проверить ссылки после копирования. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Поиск значения XLOOKUP / ПРОСМОТРX | =XLOOKUP(E2,A:A,B:B) |
Поиск и подстановка | XLOOKUP ищет значение в одном диапазоне и возвращает соответствующее значение из другого диапазона. В русской локализации Excel функция может отображаться как ПРОСМОТРX. |
| Сумма по условию SUMIF / СУММЕСЛИ | =SUMIF(A:A,"Москва",B:B) |
Базовые формулы Excel | Сумма по условию SUMIF / СУММЕСЛИ: формула =SUMIF(A:A,"Москва",B:B) помогает настроить рабочую формулу в таблице и проверить ссылки после копирования. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |