Содержание
Есть историческая справка, страница 10
Страницы, где объясняется происхождение формулы или идеи.
1375 формул
Таблица формул
Показаны 541-600 из 1375. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Аргумент линейной функции по известному значению | $x = \frac{y-b}{k},\quad k \ne 0$ | Функции и графики | Если значение линейной функции y = kx + b известно, аргумент находят обратным ходом: вычитают свободный член и делят результат на ненулевой коэффициент k. Она связывает з. |
| Нуль линейной функции y = kx + b | $x_0 = -\frac{b}{k},\quad k \ne 0$ | Функции и графики | Нуль линейной функции - это такое значение аргумента, при котором y становится равным нулю. Для y = kx + b его находят по формуле x0 = -b/k. Она связывает запись функции. |
| Пересечение линейной функции с осью Oy | $x=0,\quad y=b$ | Функции и графики | График линейной функции y = kx + b пересекает ось Oy в точке с абсциссой 0 и ординатой b. Свободный член сразу показывает высоту этой точки. Она связывает запись функции. |
| Разность значений линейной функции | $y_2-y_1=k(x_2-x_1)$ | Функции и графики | У линейной функции изменение значения равно коэффициенту k, умноженному на изменение аргумента. Свободный член при вычитании исчезает. Она связывает запись функции или ур. |
| Биссектриса угла и половина градусной меры | $\beta=\frac{\alpha}{2}$ | Геометрия | Биссектриса делит угол на два равных угла. Если весь угол равен alpha, каждый из получившихся углов равен alpha/2. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин. |
| Условие параллельности графиков линейных функций | $k_1=k_2,\quad b_1\ne b_2$ | Функции и графики | Графики двух линейных функций y = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны и не совпадают, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны. Она связывает запись. |
| Степень числа минус один | $(-1)^n=\begin{cases}1, & n\text{ четное},\\-1, & n\text{ нечетное}.\end{cases}$ | Алгебра | Степень числа -1 зависит от четности показателя: при четном показателе результат равен 1, при нечетном - остается -1. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения. |
| Распределительный закон умножения для скобок | $a(b+c)=ab+ac$ | Алгебра | При умножении числа или выражения на сумму множитель умножают на каждое слагаемое. Это основа раскрытия скобок и вынесения общего множителя. Она показывает, какие части в. |
| Абсцисса точки линейного уравнения с двумя переменными | $x=\frac{c-by}{a},\quad a\ne0$ | Алгебра | Если точка лежит на прямой ax + by = c и известна ее ордината y, абсциссу x находят вычитанием by из c и делением на ненулевой коэффициент a. Она связывает запись функции. |
| Произведение множителей вида x + a и x + b | $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ | Алгебра | Произведение двух линейных множителей с одинаковым первым членом раскрывается в квадратный трехчлен: коэффициент при x равен сумме a и b, свободный член - их произведению. |
| Ордината точки линейного уравнения с двумя переменными | $y=\frac{c-ax}{b},\quad b\ne0$ | Алгебра | Если точка удовлетворяет уравнению ax + by = c и известна ее абсцисса x, ординату y находят по формуле y = (c - ax)/b. Она связывает запись функции или уравнения с координатами точки и помогает проверить результат обратной подстановкой. |
| Угол при вершине равнобедренного треугольника | $\beta=180^\circ-2\alpha$ | Геометрия | Если известен угол при основании равнобедренного треугольника, угол при вершине находят как 180 градусов минус удвоенный угол при основании. Она помогает не подменять гео. |
| Угол равностороннего треугольника | $\alpha=60^\circ$ | Геометрия | В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому все внутренние углы равны и каждый из них составляет 60 градусов. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин. |
| Периметр равностороннего треугольника | $P=3a$ | Геометрия | Периметр равностороннего треугольника равен утроенной стороне, потому что все три его стороны имеют одну и ту же длину. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин. |
| Коэффициент произведения одночленов | $(c_1M_1)(c_2M_2)=c_1c_2\,M_1M_2$ | Алгебра | При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножаются отдельно, а буквенные множители объединяются по правилам степеней. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения. |
| Степень нуля с натуральным показателем | $0^n=0,\quad n\in\mathbb{N}$ | Алгебра | Ноль в любой натуральной степени равен нулю, потому что произведение содержит хотя бы один нулевой множитель. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения. |
| Третий угол треугольника | $\gamma=180^\circ-\alpha-\beta$ | Геометрия | Если известны два угла треугольника, третий находят вычитанием их суммы из 180 градусов. Формула следует из теоремы о сумме углов треугольника. Она помогает не подменять. |
| Угол при основании равнобедренного треугольника | $\alpha=\frac{180^\circ-\beta}{2}$ | Геометрия | В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если известен угол при вершине, каждый угол при основании равен половине разности 180° и этого угла. Она помогает. |
| Внутренние односторонние углы при параллельных прямых | $\alpha+\beta=180^\circ$ | Геометрия | Если две параллельные прямые пересечены секущей, внутренние односторонние углы в сумме дают 180 градусов. Они дополняют друг друга до развернутого угла. Она помогает не п. |
| Степень частного двух выражений | $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\quad b\ne0$ | Алгебра | Степень частного показывает, что при возведении дроби в натуральную степень отдельно возводят в эту степень числитель и знаменатель. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Квадрат суммы двух выражений | $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ | Алгебра | Квадрат суммы равен квадрату первого выражения, удвоенному произведению выражений и квадрату второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Квадрат разности двух выражений | $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ | Алгебра | Квадрат разности равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Разность квадратов двух выражений | $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ | Алгебра | Разность квадратов раскладывается в произведение разности выражений и их суммы. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Куб суммы двух выражений | $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ | Алгебра | Куб суммы раскрывается в четыре слагаемых: куб первого выражения, два смешанных члена с коэффициентом 3 и куб второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Куб разности двух выражений | $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ | Алгебра | Куб разности раскрывается в четыре слагаемых с чередующимися знаками: плюс, минус, плюс, минус. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Сумма кубов двух выражений | $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ | Алгебра | Сумма кубов раскладывается на сумму оснований и неполный квадрат разности этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Разность кубов двух выражений | $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ | Алгебра | Разность кубов раскладывается на разность оснований и неполный квадрат суммы этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Координата середины отрезка на прямой | $x_{\text{серед}}=\frac{x_1+x_2}{2}$ | Алгебра | Координата середины отрезка на координатной прямой равна среднему арифметическому координат его концов. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Периметр многоугольника через стороны | $P=a_1+a_2+\dots+a_n$ | Геометрия | Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон, взятых в одном порядке обхода фигуры. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Арифметический квадратный корень | $\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$ | Алгебра | Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом. |
| Квадрат арифметического квадратного корня | $(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$ | Алгебра | Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений. |
| Квадратный корень из частного | $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0$ | Алгебра | Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен. |
| Вынесение множителя из-под квадратного корня | $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b},\quad b\ge 0$ | Алгебра | Вынесение множителя из-под корня отделяет полный квадрат внутри подкоренного выражения и превращает его в множитель перед корнем. |
| Внесение множителя под квадратный корень | $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad\text{при }a\ge 0,\;b\ge 0$ | Алгебра | Внесение множителя под корень заменяет множитель перед радикалом его квадратом под знаком корня: например, 3\sqrt{5}=\sqrt{45}. |
| Сложение подобных квадратных корней | $k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$ | Алгебра | Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей. |
| Неполное квадратное уравнение x² = a | $x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$ | Алгебра | Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет. |
| Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 | $ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$ | Алгебра | Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя. |
| Корни приведенного квадратного уравнения | $x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$ | Алгебра | Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета. |
| Разложение квадратного трехчлена на множители | $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ | Алгебра | Если x_1 и x_2 - корни уравнения ax^2+bx+c=0, то трехчлен обращается в ноль при x=x_1 и x=x_2, поэтому записывается как a(x-x_1)(x-x_2). |
| Абсцисса вершины параболы | $x_0=-\frac{b}{2a}$ | Функции и графики | Абсцисса вершины параболы y = ax^2 + bx + c равна -b/(2a) и показывает, при каком x квадратичная функция достигает вершины. |
| Ордината вершины параболы | $y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}$ | Функции и графики | Ордината вершины параболы находится подстановкой x0 в квадратичную функцию или по формуле через коэффициенты a, b и c; она дает минимум или максимум функции. |
| Ось симметрии параболы | $x=-\frac{b}{2a}$ | Функции и графики | Ось симметрии параболы y = ax^2 + bx + c - вертикальная прямая x = -b/(2a), проходящая через вершину графика и делящая его пополам. |
| n-й член арифметической прогрессии | $a_n=a_1+(n-1)d$ | Алгебра | n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности. |
| Сумма первых n членов арифметической прогрессии | $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ | Алгебра | Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна среднему арифметическому первого и n-го членов, умноженному на число членов. |
| n-й член геометрической прогрессии | $b_n=b_1 q^{n-1}$ | Алгебра | n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений. |
| Сумма первых n членов геометрической прогрессии | $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1$ | Алгебра | Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается через первый член, знаменатель q и число членов n, если q не равен 1. |
| Классическая вероятность события | $P(A)=\frac{m}{n}$ | Вероятность и статистика | Классическая вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов в конечном случайном опыте. |
| Расстояние между двумя точками на плоскости | $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ | Геометрия | Расстояние между двумя точками на координатной плоскости находится по теореме Пифагора через разности их координат и всегда является неотрицательной длиной. |
| Координаты середины отрезка | $M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ | Геометрия | Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов на координатной плоскости. |
| Теорема Пифагора | $c^2 = a^2 + b^2$ | Геометрия | Теорема Пифагора позволяет найти сторону прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов. |
| Площадь треугольника через основание и высоту | $S = \frac{1}{2}ah$ | Геометрия | Площадь треугольника через основание и высоту равна половине произведения выбранного основания на соответствующую высоту. |
| Площадь параллелограмма | $S = ah$ | Геометрия | Площадь параллелограмма находят как произведение стороны, выбранной основанием, на перпендикулярную высоту к этой стороне. |
| Площадь трапеции | $S = \frac{a + b}{2}h$ | Геометрия | Площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту, проведенную между параллельными сторонами. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Площадь ромба через диагонали | $S = \frac{d_1d_2}{2}$ | Геометрия | Площадь ромба можно найти по диагоналям: половина произведения диагоналей дает площадь всей фигуры. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Теорема Виета для квадратного уравнения | $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$ | Алгебра | Теорема Виета выражает сумму и произведение корней квадратного уравнения через его коэффициенты без отдельного вычисления каждого корня. |
| Квадрат суммы | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат суммы раскрывается как квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. |
| Квадрат разности | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат разности раскрывается как квадрат первого выражения, минус удвоенное произведение выражений, плюс квадрат второго выражения. |
| Разность квадратов | $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ | Алгебра | Разность квадратов раскладывается на два множителя: разность оснований и сумму тех же оснований. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Свойство квадратного корня из произведения | $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b},\quad a \ge 0,\ b \ge 0$ | Алгебра | Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей можно заменить произведением квадратных корней из этих множителей. |
| Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике | $\tan \alpha = \frac{a}{b}$ | Тригонометрия | Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |