Математика / Начала анализа

Метод Хойна: явное усреднение двух наклонов

В этой двухстадийной схеме сначала делают прогноз Эйлера на полный шаг, затем усредняют начальный и прогнозный конечный наклоны. Метод имеет второй порядок, но названия его вариантов различаются в литературе.

Опубликовано: 20 октября 2026 г.Обновлено: 20 октября 2026 г.

Математический анализ Алгебра Страницы с задачами и решениями Есть историческая справка

Формула

k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f(t_n+h,y_n+hk_1),\quad y_{n+1}=y_n+\frac h2(k_1+k_2)

Схема Два наклона: y′ = y²

y новое = 1 + 0,2 × 1,22 = 1,244

Обозначения

$k_1$: начальный наклон, единица состояния / единица аргумента
$k_2$: наклон в конце прогнозного шага, единица состояния / единица аргумента
$h$: полный шаг, единица аргумента
$y_n$: исходное состояние, единица состояния
$t_n$: начало шага, единица аргумента

Условия применения

Правая часть должна допускать вычисление в начальной и прогнозной конечной точках; для второго порядка нужна достаточная гладкость и обычные условия устойчивой сходимости. Здесь применяется ровно одно исправление после прогноза, без последующих итераций.

Ограничения

Конечный наклон вычисляется по прогнозу, а не по окончательно принятому состоянию. Поэтому схема явная и отличается от неявных трапеций. Слова «Хойн» и «модифицированный Эйлер» в разных книгах обозначают разные таблицы коэффициентов; ориентироваться следует на стадии.

Подробное объяснение

Производная обычно изменяется внутри шага. Вместо переноса только начального наклона эта схема пробует оценить оба края. Начальный k₁ даёт прогноз y* = yₙ+hk₁, затем в точке (tₙ+h,y*) находится второй наклон k₂.

Состояние исправляется из исходной точки: к yₙ прибавляют половину суммы двух наклонов, умноженную на h. Прогноз y* не является ответом и не складывается с исправлением повторно. Если производная постоянна, оба наклона равны и схема точно воспроизводит линейное изменение.

Для гладкой правой части такой прогноз достаточно точен, чтобы усреднение согласовалось с рядом точного решения до второго порядка. Локальная ошибка перехода имеет порядок h³, а общая на ограниченном интервале — h². Понижение h вдвое асимптотически уменьшает ведущую ошибку примерно в четыре раза.

Название «явные трапеции» связано с приближением интеграла производной средним значением на концах. Это аналогия способа интегрирования, а не равенство с неявной трапецеидальной схемой: там конечный наклон зависит от уже исправленного yₙ₊₁ и возникает уравнение для нового слоя.

На линейном тесте y′ = λy эта схема и явная средняя точка имеют один множитель 1+hλ+(hλ)²/2. На нелинейном примере они расходятся: разные пробные состояния меняют вторую производную. По одному линейному тесту нельзя заключать, что два метода тождественны.

Как пользоваться формулой

В исходной точке найдите k₁ и постройте полный прогноз y* = y+h·k₁, сохранив отдельно старое состояние.
Вычислите второй наклон при t+h и прогнозном y*; это одна оценка правой части, а не решение неявного уравнения.
Найдите среднее двух наклонов и прибавьте h, умноженное на это среднее, к старому y для принятого ответа.
Проверьте результат уменьшением шага; в отчёте укажите формулы стадий, чтобы неоднозначность названия не меняла алгоритм.

Историческая справка

Двухстадийные улучшения Эйлера входят в семейство методов Рунге — Кутты, которое сформировалось на рубеже XIX и XX веков. Их общая идея — повышать порядок несколькими вычислениями правой части, не выписывая высокие производные решения. История терминов сложнее одной фамилии: название Хойна часто используют для явного усреднения крайних наклонов, но в Fundamentals of Numerical Computation эта таблица названа модифицированным Эйлером, а именем Хойна обозначена другая двухстадийная таблица. Авторы прямо предупреждают о расхождении названий. Поэтому здесь историческое имя сопровождается полным алгоритмом. Это позволяет воспроизвести расчёт независимо от учебной традиции и не приписывать все схемы второго порядка одному человеку.

Историческая линия формулы

Использовано распространённое название «метод Хойна» для явных трапеций с весами 1/2 и 1/2. В источнике FNC эта же схема обозначена ME2. Речь идёт о конкретной таблице коэффициентов, а не об утверждении первенства или единой терминологии всех учебников.

Пример

Для y′ = y², y(0) = 1 возьмём h = 0,2. Начальный наклон k₁ = 1. Прогноз Эйлера y* = 1+0,2·1 = 1,2, а конечный прогнозный наклон k₂ = 1,2² = 1,44. Исправленное значение y₁ = 1+0,2·(1+1,44)/2 = 1,244. Точное y(0,2) = 1/(1−0,2) = 1,25, поэтому абсолютная ошибка равна 0,006. Прогноз 1,2 и окончательный ответ 1,244 имеют разные роли. Явная средняя точка на той же задаче даёт 1,242, что демонстрирует различие двух схем второго порядка. Все величины безразмерны, а вычисленный ответ относится к полному моменту t = 0,2. Одного удачного сравнения недостаточно, чтобы объявлять эту схему точнее средней точки на любой задаче.

Частая ошибка

Не усредняйте состояния y и y* вместо наклонов. Не пересчитывайте конечный наклон по исправленному ответу без указания нового итерационного алгоритма. Не заменяйте полную прогнозную точку средней точкой. Не считайте совпадение на y′ = λy доказательством тождественности методов на нелинейных уравнениях.

Практика

Задачи с решением

Зависимость от времени

Условие. Для y′ = 2t, y(0) = 1 сделайте один шаг h = 0,5.

Решение. k₁ = 0, прогноз равен 1. Конечный наклон k₂ = 2·0,5 = 1. Исправление: y₁ = 1+0,5·(0+1)/2 = 1,25. Оно совпадает с точным 1+t².

Ответ. y(0,5) = 1,25.

Затухающая модель

Условие. Для y′ = −2y, y₀ = 1 вычислите один шаг h = 0,25.

Решение. k₁ = −2, прогноз y* = 0,5. Тогда k₂ = −1. Итог y₁ = 1+0,25·(−2−1)/2 = 0,625; точное e⁻⁰·⁵ ≈ 0,606530660.

Ответ. y₁ = 0,625.

Дополнительные источники

https://fncbook.com/rk/
https://fncbook.com/euler/
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Runge/

Связанные формулы

Математика

Явный метод Эйлера: решение задачи Коши по шагам

$y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n),\qquad t_{n+1}=t_n+h$

Явный метод Эйлера приближённо решает уравнение y′ = f(t,y), продолжая решение по наклону в начале каждого шага. При гладком решении глобальная ошибка имеет первый порядок по шагу.

Математика

Неявный метод Эйлера: шаг и устойчивость затухания

$y_{n+1}=y_n+h f(t_{n+1},y_{n+1})$

Неявный метод Эйлера использует производную в конце шага. Новое значение входит в обе части равенства, поэтому каждый переход требует решения уравнения, зато схема хорошо подавляет быстро затухающие компоненты.

Математика

Явный метод средней точки для задачи Коши

$k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\quad y_{n+1}=y_n+hk_2$

Явный метод средней точки делает пробный полушаг по Эйлеру, оценивает производную в середине и использует её на полном шаге. Это двухстадийная схема Рунге — Кутты второго порядка.

Математика

Классический метод Рунге — Кутты четвёртого порядка

$\begin{aligned}k_1&=f(t_n,y_n),&k_2&=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\\k_3&=f(t_n+h/2,y_n+hk_2/2),&k_4&=f(t_n+h,y_n+hk_3),\\y_{n+1}&=y_n+\frac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4).\end{aligned}$

Классический RK4 вычисляет четыре наклона за шаг и объединяет их с весами 1:2:2:1. Для гладкой задачи Коши он даёт четвёртый порядок общей ошибки без явного вычисления высших производных.