Математика / Начала анализа

Явный метод Эйлера: решение задачи Коши по шагам

Явный метод Эйлера приближённо решает уравнение y′ = f(t,y), продолжая решение по наклону в начале каждого шага. При гладком решении глобальная ошибка имеет первый порядок по шагу.

Опубликовано: 20 октября 2026 г.Обновлено: 20 октября 2026 г.

Математический анализ Алгебра Страницы с задачами и решениями Есть историческая справка

Формула

y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n),\qquad t_{n+1}=t_n+h

Схема Шаги явного Эйлера

Для y′ = y; h = 0,1

Обозначения

$t_n$: текущий узел независимой переменной, единица времени или аргумента
$y_n$: приближение решения в текущем узле, единица искомой величины
$h$: положительный шаг сетки, единица аргумента
$f(t_n,y_n)$: значение производной в начале шага, единица y / единица t

Условия применения

Заданы правая часть уравнения, начальный узел и начальное значение. Для обычной гарантии сходимости требуется достаточная гладкость решения и условие Липшица по y в рассматриваемой области. Шаг выбирают с учётом точности и устойчивости задачи.

Ограничения

Малый шаг уменьшает погрешность лишь при корректной модели и устойчивом вычислении. Для жёстких задач допустимый шаг может оказаться очень мал. Метод не определяет автоматически ни точность, ни момент разрыва; переход через особую точку уравнения недопустим без анализа.

Подробное объяснение

Уравнение первого порядка задаёт не высоту графика, а его наклон в каждой точке плоскости (t,y). Начальное значение выбирает нужную траекторию. Эйлер заменяет маленький участок этой траектории отрезком касательной и вычисляет новое значение через приращение h·f.

Правая часть берётся в уже известной точке. Поэтому шаг называют явным: для получения y следующего узла не нужно решать дополнительное уравнение. После перехода производную вычисляют заново, поскольку и аргумент, и приближённое состояние изменились.

Разложение точного решения в ряд Тейлора показывает пропущенный член, пропорциональный h². Это ошибка одного шага при точном входном значении. На фиксированном интервале число шагов растёт как 1/h, поэтому при стандартных условиях общая ошибка имеет порядок h. Это две разные оценки.

Для теста y′ = λy каждый шаг умножает состояние на 1+hλ. Когда λ отрицательно, точное решение затухает, а численная последовательность может расти, если множитель по модулю больше единицы. Уменьшение шага здесь нужно не только ради красивой ломаной.

Если t измеряется в секундах, а y в метрах, f имеет единицу м/с. Тогда h·f измеряется в метрах и его можно прибавлять к y. Размерная проверка помогает заметить неверно переведённый шаг ещё до сравнения с точным решением.

Как пользоваться формулой

Запишите уравнение в виде y′ = f(t,y), начальные данные и единицы; выберите конечный интервал без особых точек.
В начале шага вычислите f по текущим t и y; не подставляйте в правую часть ещё неизвестное значение следующего узла.
Умножьте найденный наклон на h, прибавьте приращение к y и передвиньте аргумент ровно на выбранный шаг.
Повторите расчёт с меньшим шагом на том же интервале и сравните результаты; проверьте устойчивость на простой тестовой модели.

Историческая справка

Название метода связано с Леонардом Эйлером, работавшим в XVIII веке над анализом и дифференциальными уравнениями. Его научный контекст включал механику, где закон изменения часто задаётся через скорость или ускорение, а требуется сама траектория. Геометрическая идея последовательных касательных позволяет перейти от такого закона к таблице приближений. Современная запись с индексами узлов отделяет точное решение от его дискретных значений и делает схему удобной для программирования. В учебнике Fundamentals of Numerical Computation метод служит исходной точкой для обсуждения локальной ошибки, сходимости и перехода к более точным одношаговым схемам. Теория устойчивости дополняет эту простую геометрию: одинаковый шаг может быть приемлем для одной модели и неприемлем для другой.

Историческая линия формулы

Употребляется традиционное название «метод Эйлера». Оно относится к явному шагу по наклону в начале отрезка. Современные оценки ошибок, компьютерная реализация и анализ устойчивости составляют более поздний аппарат численного анализа и не приписываются одному автору.

Пример

Решим безразмерную задачу y′ = y, y(0) = 1 до t = 0,2 с шагом h = 0,1. Первый наклон равен 1, поэтому y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1 при t₁ = 0,1. Второй наклон уже равен 1,1: y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21. Точное значение e⁰·² ≈ 1,221402758, абсолютная ошибка около 0,011402758. При вдвое меньшем шаге четыре перехода дают 1,05⁴ = 1,21550625 и ошибку около 0,005896508. Ошибка уменьшилась примерно вдвое, как и ожидается для первого порядка. Ответ 1,21 относится к выбранной сетке, а не является точным значением экспоненты. Все приращения здесь безразмерны.

Частая ошибка

Не оставляйте наклон первого шага неизменным до конца интервала: это уже одна длинная касательная. Не путайте ошибку отдельного перехода с общей ошибкой таблицы. Не заключайте, что любое уменьшение шага автоматически устраняет жёсткость или разрыв. Не называйте результат точным только потому, что формула шага вычислена без округления.

Практика

Задачи с решением

Два шага для линейного роста

Условие. Для y′ = 2t, y(0) = 1 сделайте два явных шага по 0,5.

Решение. В t = 0 наклон нулевой: y₁ = 1. В t = 0,5 наклон равен 1, поэтому y₂ = 1 + 0,5·1 = 1,5. Точное y(1) = 2; ошибка равна 0,5.

Ответ. y(1) ≈ 1,5.

Затухание и устойчивость

Условие. Для y′ = −4y, y₀ = 1 сравните множители шага при h = 0,4 и h = 0,6.

Решение. Множитель 1−4h равен −0,6 и −1,4 соответственно. В первом случае модуль уменьшается со сменой знака, во втором растёт вопреки точному затуханию.

Ответ. h = 0,4 даёт затухание; h = 0,6 — рост ошибки.

Дополнительные источники

https://fncbook.com/euler/
https://fncbook.com/absstab-diffusion/
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler/

Связанные формулы

Математика

Неявный метод Эйлера: шаг и устойчивость затухания

$y_{n+1}=y_n+h f(t_{n+1},y_{n+1})$

Неявный метод Эйлера использует производную в конце шага. Новое значение входит в обе части равенства, поэтому каждый переход требует решения уравнения, зато схема хорошо подавляет быстро затухающие компоненты.

Математика

Явный метод средней точки для задачи Коши

$k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\quad y_{n+1}=y_n+hk_2$

Явный метод средней точки делает пробный полушаг по Эйлеру, оценивает производную в середине и использует её на полном шаге. Это двухстадийная схема Рунге — Кутты второго порядка.

Математика

Метод Хойна: явное усреднение двух наклонов

$k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f(t_n+h,y_n+hk_1),\quad y_{n+1}=y_n+\frac h2(k_1+k_2)$

В этой двухстадийной схеме сначала делают прогноз Эйлера на полный шаг, затем усредняют начальный и прогнозный конечный наклоны. Метод имеет второй порядок, но названия его вариантов различаются в литературе.

Математика

Классический метод Рунге — Кутты четвёртого порядка

$\begin{aligned}k_1&=f(t_n,y_n),&k_2&=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\\k_3&=f(t_n+h/2,y_n+hk_2/2),&k_4&=f(t_n+h,y_n+hk_3),\\y_{n+1}&=y_n+\frac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4).\end{aligned}$

Классический RK4 вычисляет четыре наклона за шаг и объединяет их с весами 1:2:2:1. Для гладкой задачи Коши он даёт четвёртый порядок общей ошибки без явного вычисления высших производных.