Математика / Геометрия

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора позволяет найти сторону прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Школьная программа ОГЭ ЕГЭ Формулы по математике за 8 класс Геометрия Планиметрия Есть историческая справка

Формула

$$c^2 = a^2 + b^2$$

geometry-diagram Схема: теорема Пифагора

Текстовая схема показывает, какие величины из условия подставляются в формулу и какой элемент требуется найти.

прямоугольный треугольник: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обозначения

a, b: катеты прямоугольного треугольника, единицы длины
$c$: гипотенуза, единицы длины

Условия применения

Формула применяется к ситуации: прямоугольный треугольник.
Все величины должны быть выражены в согласованных единицах перед подстановкой.
В условии должны быть известны все величины, кроме одной искомой.
На чертеже должно быть доказано нужное геометрическое свойство, а не только видно по рисунку.

Ограничения

Формулу нельзя применять, если объект задачи не соответствует условию: прямоугольный треугольник.
Ошибки в единицах измерения меняют численный ответ даже при правильной алгебре.
Если в задаче есть дополнительные этапы, их считают отдельными формулами.
Наклонные стороны, внешние углы и похожие отрезки нельзя подставлять вместо высоты, основания или нужной стороны.

Подробное объяснение

Теорема Пифагора описывает ситуацию «прямоугольный треугольник»: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Смысл результата не сводится к подстановке чисел: перед вычислением нужно распознать, какие элементы задачи соответствуют буквам в формуле. Идея формулы такова: квадрат, построенный на гипотенузе, по площади равен двум квадратам на катетах. Поэтому равенство работает не для любой похожей записи, а для строго указанной конфигурации или физической модели. Если перепутать элемент, формула начнет считать другую величину. Поведение результата удобно проверять по зависимости величин. Гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. При увеличении множителя, стоящего в числителе или произведении, результат обычно растет; при увеличении величины в знаменателе уменьшается. В типовых школьных задачах сначала выписывают данные, затем подставляют их в формулу и только после этого округляют или переводят единицы. Такой порядок уменьшает риск арифметической ошибки и помогает увидеть, не требуется ли перед основной формулой дополнительный шаг. Перед записью ответа полезно выполнить короткую проверку: сравнить результат с геометрическим смыслом, размерностью или обратной подстановкой. Если проверка противоречит условию, чаще всего перепутаны стороны, знаки, единицы или выбран не тот этап процесса.

Как пользоваться формулой

Определите, что в задаче действительно рассматривается прямоугольный треугольник.
Выпишите известные величины и переведите их в согласованные единицы.
Подставьте значения в формулу, не меняя местами обозначения.
Выполните вычисления по действиям и сохраните единицы результата.
Проверьте ответ по смыслу: гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной.

Историческая справка

Геометрические формулы площади, сторон и отношений возникли из землемерия, строительства и античной доказательной геометрии. В греческой традиции свойства фигур связывали с построениями и строгими рассуждениями, а в школьной записи они стали короткими расчетными правилами. Для темы «теорема Пифагора» исторически важна практическая задача: прямоугольный треугольник нужно было не только описать, но и измерить. Современная формула стала удобной потому, что отделяет постоянные свойства объекта от переменных данных конкретной задачи. Единственная дата или один автор обычно не исчерпывают происхождение школьной записи. В учебниках она закрепилась как итог долгого отбора обозначений, единиц и способов доказательства или эксперимента. Поэтому исторический блок корректнее связывает формулу с научной традицией и областью применения, а не превращает ее в легенду об одном открытии.

Историческая линия формулы

Для темы «теорема Пифагора» корректная атрибуция указывает не только имя, если оно традиционно связано с результатом, но и более широкий контекст: школьная формула является современной записью доказательства, тождества или экспериментального закона. Поэтому ее следует связывать с развитием евклидовой геометрии и практики измерений, а не с произвольным единичным авторством.

Пифагор ок. 570-495 до н. э.

Пример

Условие: катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Дано: a = 6 см, b = 8 см. Найти: гипотенузу c. Подстановка: c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, значит c = 10 см. Ответ: 10 см. Проверка: гипотенуза больше каждого катета, а тройка 6, 8, 10 является увеличенной тройкой 3, 4, 5; единицы длины сохранены. Развернутая проверка. Условие уже содержит все данные для одной подстановки: a, b — катеты прямоугольного треугольника (единицы длины); c — гипотенуза (единицы длины). Сначала записывают известные величины, затем выполняют вычисление без округления промежуточных результатов. Для контроля можно решить близкую задачу: Катеты равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу. Решение: c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, поэтому c = 13 см. Ответ: 13 см. Такой контроль показывает, что порядок действий, единицы и смысл результата согласованы.

Частая ошибка

Частая ошибка — применять формулу к похожей, но другой ситуации: прямоугольный треугольник должен быть установлен по условию или доказан. Еще одна ошибка — подставлять величины без единиц и получать численно верный, но физически или геометрически неверный ответ. Отдельно проверяйте ключевой нюанс: гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. В алгебраических преобразованиях нельзя терять скобки и знаки, в геометрии — брать размер с рисунка на глаз, а в физике — смешивать этапы процесса. Надежная самопроверка: выполнить обратную подстановку или оценить, должен ли результат быть больше, меньше или иметь указанную размерность.

Практика

Задачи с решением

Найти гипотенузу

Условие. Катеты равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу.

Решение. c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, поэтому c = 13 см.

Ответ. 13 см

Решение использует те же обозначения, что и основная формула; после вычисления ответ проверяется по единицам и смыслу результата.

Найти катет

Условие. Гипотенуза равна 17 см, один катет 8 см. Найдите второй катет.

Решение. b^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225, значит b = 15 см.

Ответ. 15 см

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике, раздел «Геометрия»
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия. 7-9 классы. М.: Просвещение
Погорелов А. В. Геометрия. 7-9 классы. М.: Просвещение

Связанные формулы

Математика

Площадь треугольника через основание и высоту

$S = \frac{1}{2}ah$

Площадь треугольника через основание и высоту равна половине произведения выбранного основания на соответствующую высоту.

Математика

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике

$\tan \alpha = \frac{a}{b}$

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.

Математика

Расстояние между двумя точками на плоскости

$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости находится по теореме Пифагора через разности их координат и всегда является неотрицательной длиной.

Математика

Средняя линия треугольника

$m = \frac{a}{2}$

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине ее длины. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.