Математика: темы
Начала математического анализа
Формулы и правила по теме «Начала математического анализа».
30 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Определение производной через предел | $f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ | Начала анализа | Производная функции в точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует. |
| Производная степенной функции | $(x^n)'=nx^{n-1}$ | Начала анализа | Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу. |
| Производная суммы и разности | $(u\pm v)'=u'\pm v'$ | Начала анализа | Производная суммы или разности функций равна сумме или разности их производных при условии, что обе производные существуют. |
| Производная произведения | $(uv)'=u'v+uv'$ | Начала анализа | Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй. |
| Производная частного | $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ | Начала анализа | Производная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит u'v − uv', а в знаменателе квадрат знаменателя исходной дроби. |
| Производная сложной функции | $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ | Начала анализа | Производная сложной функции равна производной внешней функции, взятой от внутренней, умноженной на производную внутренней функции. |
| Уравнение касательной к графику функции | $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ | Начала анализа | Касательная к графику функции в точке x0 имеет угловой коэффициент f'(x0) и проходит через точку графика (x0; f(x0)) как обычная прямая. |
| Признак возрастания и убывания через производную | $f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$ | Начала анализа | Если производная положительна на интервале, функция возрастает; если производная отрицательна на интервале, функция убывает. |
| Критические точки и экстремум функции | $f'(x_0)=0\ \text{или}\ f'(x_0)\ \text{не существует}$ | Начала анализа | Критические точки функции ищут среди точек, где производная равна нулю или не существует, а экстремум подтверждают сменой знака производной. |
| Первообразная степенной функции | $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1$ | Начала анализа | Первообразная степенной функции x^n равна x^(n+1)/(n+1) плюс постоянная C, если показатель степени не равен −1, и проверяется производной. |
| Предел функции двух переменных в точке | $\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L \iff \forall \epsilon>0 \exists \delta>0:0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon$ | Пределы, ряды | Предел функции двух переменных в точке: формула \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L \iff \forall \epsilon>0 \exists \delta>0:0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon помогает найти предел с учетом области определения и ведущих членов. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Частные производные функции двух переменных | $f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\quad f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$ | Пределы, ряды | Частные производные функции двух переменных: формула f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\quad f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k} помогает найти производную или дифференциал без потери условий. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Полный дифференциал функции двух переменных | $df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$ | Пределы, ряды | Полный дифференциал функции двух переменных: формула df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy помогает найти производную или дифференциал без потери условий. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Необходимые условия экстремума для двух переменных | $\nabla f(a,b)=(0,0)$ | Пределы, ряды | Необходимые условия экстремума для двух переменных: формула \nabla f(a,b)=(0,0) помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Критерий Гессе для двух переменных | $D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle$ | Пределы, ряды | Критерий Гессе для двух переменных: формула D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Якобиан для смены переменных | $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\quad dA_{xy}=|J|dA_{uv}$ | Пределы, ряды | Якобиан для смены переменных: формула J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\quad dA_{xy}=|J|dA_{uv} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Степенной ряд | $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$ | Пределы, ряды | Степенной ряд: формула \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Радиус сходимости степенного ряда | $R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},\quad (1/\limsup=\infty\text{ если }\limsup=0),\quad (1/\infty=0)$ | Пределы, ряды | Радиус сходимости степенного ряда: формула R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},\quad (1/\limsup=\infty\text{ если }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0... |
| Интервал сходимости степенного ряда | $I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно }$ | Пределы, ряды | Интервал сходимости степенного ряда: формула I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно } помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Формула Тейлора с остаточным членом | $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ | Пределы, ряды | Формула Тейлора с остаточным членом: формула f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд Маклорена для e^x | $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Ряд Маклорена для e^x: формула e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд Маклорена для sin x | $\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Ряд Маклорена для sin x: формула \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb R помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд Маклорена для cos x | $\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Ряд Маклорена для cos x: формула \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд ln(1+x) | $\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots,\quad -1<x\le 1$ | Пределы, ряды | Ряд ln(1+x): формула \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots,\quad -1<x\le 1 помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Биномиальный ряд | $(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n,\quad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},\quad |x|<1\text{ (обычно)}$ | Пределы, ряды | Биномиальный ряд: формула (1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n,\quad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},\quad |x|<1\text{ (обычно)} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Монотонность функции по знаку производной | $f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\ f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$ | Начала анализа | Монотонность функции по знаку производной: формула f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\ f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow помогает величины f, x заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Критические точки функции по уравнению f'(x)=0 | $f'(x)=0$ | Начала анализа | Критические точки функции по уравнению f'(x)=0: формула f'(x)=0 помогает величины f, x заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Уравнение касательной к графику в точке | $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ | Начала анализа | Уравнение касательной к графику в точке: формула y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) помогает величины y, f, x, x_0 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Первообразная по начальному значению | $F(x)=\int f(x)dx+C$ | Начала анализа | Первообразная по начальному значению: формула F(x)=\int f(x)dx+C помогает величины F, f, x, C заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Площадь под линейным графиком через интеграл | $S=\int_a^b f(x)\,dx$ | Начала анализа | Площадь под линейным графиком через интеграл: формула S=\int_a^b f(x)\,dx помогает величины S, a, b, f заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |